一、規范公式存在的問題
管道摩阻力的理論公式在許多文章和手冊中都曾經出現過，后來集中反映在GB 50268-97《給水排水管道工程施工及驗收規范》中。規范的6.4.8條規定，頂管的頂力可按下式計算：
式中 P—計算的總頂力(kN)；
γ—管道所處土層的重力密度(kN/m3)；
D1—管道的外徑(m)；
H—管道頂部以上覆蓋土層的厚度(m)；
?φ—管道所處土層的內摩擦角(°);
ω—管道單位長度的自重(kN/m)，(筆者：應改為由自重產生的力)；
L—管道的計算頂進長度(m)；
f—頂進時，管道表面與其周圍土層之間的摩擦系數；
PF—頂進時，工具管的迎面阻力(kN)。
僅就管道摩擦力而言，上述公式可以簡化。設p為單位長度管道的摩阻力，則：
這一公式引用了摩擦力的基本理論：摩擦阻力等于正壓力乘摩擦系數。摩擦系數f采用已有的成果，所以問題的討論重點轉移到正壓力的計算上來，式中的tg2(45°-φ/2)是主動土壓力系數，用K1來表示：K1=tg2(45°-φ/2),代入上式得：
稍作變化，將上式改寫如下：
此式的物理意義是：管道摩助力等于管頂土壓力強度與水平管軸線處主動土壓力強度之和的2倍，乘以管道直徑，再乘以摩擦系數，另外再加上管道自重所產生的摩阻力。
上式中第1項是管頂土壓力和管底地基應力引起的摩阻力，第2項是管道兩側主動土壓力引起的摩阻力，計算時采用了每個方向上的單位土壓力乘以管道外徑D1作為正壓力，這種計算方法即違背了摩擦力的基本理論，因為除管頂、管底和水平管軸線兩側共4處土壓力以外，所有的土壓力與管道表面不垂直，并非是正壓力。
二、理論公式的推導
假設土壓力表示方法適用于圓形管道，下面按摩阻力的基本理論來推導摩阻力的理論公式。
1.管頂土壓力造成的正壓力
管頂土壓力強度q1是常量，并且有：q1=γH。
在角度為α的圓周上取一微面ds，對應ds的圓心角為dα。設作用于ds上的垂直土壓力為dNV。則:
dNV=q1sinαds
設作用于ds上的正壓力為dN。則：
dN=dNVsinα=q1sin2αds
因為：ds=D1/(2dα)，所以:dN=D1/(2q1sin2αdα)，對上式積分，得：
代入q1得：
N=πγHD1/4
2.管道右側土壓力造成的正壓力
管道右側土壓力強度為q2，是變量，并且有：
q2=γ(H+D1/2-y)K1
因為： y=D1sinα/2
所以： q2=γ(H+D1/2-D1sinα/2)K1
同樣在角度為α的圓周上取一微面ds，對應ds的圓心角為dα。設作用于ds上的水平土壓力為dMH。則：dMH=q2cosαds
設作用于ds上的正壓力為dM。則：dM=dMHcosα=q2cos2αds，代入q2得：
dM=γ(H+D1/2-D1sinα/2)K1cos2αds
因為：ds = D1dα/2，所以：
dM=γK1D1(H+D1/2-D1sinα/2)cos2dα/2
對上式積分，得：
3.管道四周土壓力造成的總正壓力
可知，作用于管道四周的土壓力上下、左右都是對稱的，所以作用于管道四周土壓力的正壓力之和Q為：
由此可知外力引起的圓形管道單位長度摩阻力應為：
p=f(Q+ω)
代入上式的Q得圓形管道單位長度摩阻力計算式的修正式：
稍作變化，將上式改寫成如下：
此式的物理意義是：管道摩阻力等于管頂土壓力強度與水平管軸線處主動土壓力強度之和的π/2倍，乘以管道直徑，再乘以摩擦系數，另外再加上管道自重所產生的摩阻力。
上式與規范公式相比，僅在于2與π/2的區別，也就是說，規范公式中的由土壓力產生的摩阻力部分的計算結果比修正后的摩阻力公式計算結果大27.3%。
三、圓形管道上的土壓力
圓形管道上的土壓力究竟如何分布?土壓力是否適用于圓形管道?仔細分析后，土壓力分布尚存在以下問題：
1.管道上部土壓力強度不是常量。管道上部的土壓力只有在管頂一點上強度是γH，其余各點均大于γH。A點上的覆蓋層厚度與B點相同。也就是說，在不計管道自重的情況下，管道下部的地基反力與管道上部土壓力相等。所以管底的地基應力的強度也不是常量。
2.管道側向土壓力并非呈梯形分布。因為某點的側向土壓力應等于該點的垂直土壓力乘以主動土壓力系數。既然B點的垂直方向土壓力與A點相等，那么B點的主動土壓力也應與A點相等。也就是說管道下部的側向主動土壓力應與管道上部對稱。
下面進一步推導作用于圓形管道上的土壓力公式，并假定：(1)土壓力只有正值，沒有負值；(2)地基反力納入土壓力范疇。
管道上部土壓力q1的分布關系式如下：
當α=0～π時
q1=γ(H+D1/2-D1sinα/2)
當α=π～2π時
q1=γ(H+D1/2+D1sinα/2)
管道側向土壓力q2的分布關系式如下：
當α=0～π
q2=γK1(H+D1/2-D1sinα/2)
當α=π～2π
q2=γK1(H+D1/2+D1sinα/2)
上述公式可以合拼如下：
根據土壓力分布圖，下面推導圓形管道摩阻力計算的理論公式。
1.管頂土壓力造成的正壓力
因垂直土壓力上下對稱，左右也對稱，現僅對α=0～π/2部份積分。
在角度為α的圓周上取一微面ds，對應ds的圓心角為dα。設作用于ds上的垂直土壓力為dNV，則：
dNV=q1sinαds
設作用于ds上的正壓力為dN，則：
dN=dNVsinα=q1sin2αds
因為ds=D1/2dα,所以dN=D1q1sin2αdα/2,代入q1=γ(H+D1/2-D1sinα/2)，得：
對上式積分得：
2.管道側向土壓力造成的正壓力
因水平土壓力左右對稱，上下也對稱，現僅對α=0～π/2部分積分。
同樣在角度為α的圓周上取一微面ds，對應ds的圓心角為dα。設作用于ds上的水平上壓力為dMH，則:dMH=q2cosαds。
設作用于ds上的正壓力為dM，則:dM=dMHcosα=q2cos2αds，代入q2得：dM=γK1(H+D1/2 -D1sinα/2)cos2αds；因為：ds=D1dα/2，所以：
對上式積分，得：
3.管道四周土壓力造成的總正壓力
作用于管道四周的土壓力上下、左右都是對稱的，所以作用于管道四周土壓力的正壓力之和Q為：
由此可知外力引起的圓形管道單位長度摩阻力計算式應修正為：
p=f(Q+ω)
代入上式的Q得
此式的物理意義：管道摩阻力等于水平管軸線處土壓力強度與主動土壓力強度之和的π/2倍，減去一個與埋深無關的管道特性項，再乘以管道直徑和摩擦系數，另外再加上管道自重所產生的摩阻力。
現在可以例出修正后的頂管的頂力計算公式：
建議規范的6.4.8條采用此公式（跳轉至卷首）
四、圓形管道上的正壓力分布
作用于管道上的土壓力一般用垂直壓力和側向壓力分別表示。但亦可用法向土壓力q表示。有時用法向土壓力表示使用起來更加方便。
dN=q1sin2αds dM=q2cos2αds
因為：qds=dN+dM=(q1sin2α+cos2α)ds，所以：q=q1sin2α+q2cos2α，代入q1和q2的表達式為：
此式的物理意義是：圓形管道上任何一點的土壓力等于該點的垂直土壓力乘以一個不大于1的與角度有關的系數。這一論點將涉及現行地下管道的結構計算，并能減少管道結構強度的投入。
五、矩形斷面管道的摩阻力計算
如果管道的斷面是矩形，其摩阻如何計算呢?
現再看土壓力形狀，如果是矩形斷面，則土壓力全部與矩形斷面管道的表面垂直。所以這一公式就是矩形斷面管道的摩阻力計算公式。
單位長度矩形斷面管道的摩阻力計算公式：
式中符號與前面相同。
上式的物理意義是：矩形管道摩阻力等于管頂土壓力強度與側向主動土壓力強度平均值之和的2倍，乘以邊長，再乘以摩擦系數，另外再加上管道自重所產生的摩阻力。
六、結論
1.《給水排水管道工程施工及驗收規范》GB50268-97之6.4.8條規定的管道摩阻力計算公式不適用于圓形斷面的管道。規范公式中的由土壓力產生的摩阻力部分的計算結果比修正后的摩阻力公式計算結果大27.3%。但此公式適用于矩形斷面管道的摩阻力計算。
2.作用于圓形管道上部的垂直土壓力呈曲線分布，并非直線。兩側的主動土壓力分布對稱于水平管軸線，呈矩形加等腰三角形，并非梯形。
3.作用于圓形管道上的土壓力可用單一的法向土壓力來表示。法向土壓力強度q按下式計算：
4.單位長度圓形管道的摩阻力理論公式應修正為：
此式的物理意義：管道摩阻力等于水平管軸線處垂直土壓力強度與主動土壓力強度之和的π/2倍，減去一個與埋深無關的管道特性項，再乘以管道直徑和摩擦系數，另外再加上管道自重所產生的摩阻力。
5.頂管頂力的嚴格計算公式應為：
向規范推薦的頂管頂力計算公式為：
因上述2式的計算結果相差不大，且后者物理意義簡單明了，容易被人接受。所以推薦此式。
